تعریف

نحوه محاسبه نسبت عدد طلائی

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنید. اگر این معادله ساده یعنی  را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا 
1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید. 

کاربردها

برش اهرام و نسبت طلائی

شاید باور نکنید اما بسیاری از طراحان و معماران بزرگ برای طراحی محصولات خود امروز از این نسبت طلایی استفاده می کنند. چرا که بنظر میرسد ذهن انسان با این نسبت انس دارد و راحت تر آنرا می پذیرد. این نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان برای طراحی استفاده می شود. بلکه در طبیعت نیز کاربردهای بسیاری دارد. 
برش اهرام و نسبت طلایی اهرام مصر یکی از قدیمی ترین ساخته های بشری است که در آن هندسه و ریاضیات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در آن نسبت طلایی بکار رفته است. به این شکل نگاه کنید که در آن بزرگترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است. 

مثلث قائم الزاویه ای که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائممصری یا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اینجاست که بدانید نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا" 1.61804 می باشد. این نسبت با عدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد یعنی چیزی حدود یک صد هزارم. باز توجه شما را به این نکته جلب می کنیم که اگر معادله فیثاغورث را برای این مثلث قائم الزاویه بنویسم به معادله ای مانند phi2=phi+b2 خواهیم رسید که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلایی خواهد بود. (معمولا" عدد طلایی را با phi نمایش می دهند) 

طول وتر برای هرم واقعی حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر می باشد بنابر این نسبت 356 بر 220 (معادل نیم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد. 

عدد طلائی از دیدگاه کپلر

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نیز علاقه بسیاری به نسبت طلایی داشت بگونه ای که در یکی از کتابهای خود اینگونه نوشت : "هندسه دارای دو گنج بسیار با اهمیت می باشد که یکی از آنها قضیه فیثاغورث و دومی رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشد. اولین گنج را می توان به طلا و دومی را به جواهر تشبیه کرد". 

تحقیقاتی که کپلر راجع به مثلثی که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف می باشد.همچنین کپلر پی به روابط بسیار زیبایی میان اجرام آسمانی و این نسبت طلایی پیدا کرد.

ویژگی‌های جبری

اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع وضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. 
و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد. 

با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند. 

اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه:   
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقی‌مانده مینامند. این روش ،اساس محاسبهبزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد. 

تعریف اعداد صحیح از روی اعداد طبیعی

می‌خواهیم از روی اعداد طبیعی مجموعه‌ی اعداد صحیح را به کمک منطق کلاسیک و اصول ZF تولید کنیم. 
رابطه‌ی ~ را روی __Nتعریف می‌کنیم: 
('a , b) ~ (a' , b) اگر و تنها اگر a+b' = a'+b 
رابطه‌ی فوق یک رابطه‌ی هم‌ارزی است. 

در واقع هر عدد صحیح عبارت است از b-a برای یک عضو از یک کلاس هم‌ارزی. 
مثلا 3=کلاس هم‌ارزیِ {(4 , 1) , (5 , 2) , ... } , 7- = کلاس هم‌ارزیِ {(1, 8) , (2 , 9) , ... }. 
شکل روبرو تعریف را ساده‌تر نمایش می‌دهد . هر عدد صحیح معادل یک کلاس هم‌ارزی است که اعضای هر کلاس هم‌ارزی با یک رنگ نشان داده شده‌اند

ویژگی‌های جبری

اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع وضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. 
و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد. 

با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند. 

اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه:   
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقی‌مانده مینامند. این روش ،اساس محاسبهبزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد. 

تعریف اعداد صحیح از روی اعداد طبیعی

می‌خواهیم از روی اعداد طبیعی مجموعه‌ی اعداد صحیح را به کمک منطق کلاسیک و اصول ZF تولید کنیم. 
رابطه‌ی ~ را روی __Nتعریف می‌کنیم: 
('a , b) ~ (a' , b) اگر و تنها اگر a+b' = a'+b 
رابطه‌ی فوق یک رابطه‌ی هم‌ارزی است. 

در واقع هر عدد صحیح عبارت است از b-a برای یک عضو از یک کلاس هم‌ارزی. 
مثلا 3=کلاس هم‌ارزیِ {(4 , 1) , (5 , 2) , ... } , 7- = کلاس هم‌ارزیِ {(1, 8) , (2 , 9) , ... }. 
شکل روبرو تعریف را ساده‌تر نمایش می‌دهد . هر عدد صحیح معادل یک کلاس هم‌ارزی است که اعضای هر کلاس هم‌ارزی با یک رنگ نشان داده شده‌اند

ویژگی‌های جبری

اعداد صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع وضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. 
و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمی‌تواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد. 

با توجه به خواص ذکر شده در جدول فوق مجموعه Z با عمل جمع تشکیل یک گروه آبلی را میدهد.ولی مجموعه Z با عمل ضرب تشکیل گروه نمیدهد،چون تمام اعداد صحیح دارای عضو معکوس در Z نیستند. 

اگر چه عمل تقسیم روی مجموعه Z تعریف نشده است .ولی یکی از مهمترین خواص تقسیم به نام الگوریتم تقسیم در این مجموعه تعریف شده است.این الگوریتم به ما میگوید : دو عدد صحیح مانند a وb که b ≠ 0 در نظر میگیریم.در این صورت اعداد صحیح یکتا مانند q وr وجود دارند به طوریکه:   
عدد صحیح q راخارج قسمت وr را باقی‌مانده مینامند. این روش ،اساس محاسبهبزرگترین مقسوم علیه مشترک میباشد. 

تعریف اعداد صحیح از روی اعداد طبیعی

می‌خواهیم از روی اعداد طبیعی مجموعه‌ی اعداد صحیح را به کمک منطق کلاسیک و اصول ZF تولید کنیم. 
رابطه‌ی ~ را روی __Nتعریف می‌کنیم: 
('a , b) ~ (a' , b) اگر و تنها اگر a+b' = a'+b 
رابطه‌ی فوق یک رابطه‌ی هم‌ارزی است. 

در واقع هر عدد صحیح عبارت است از b-a برای یک عضو از یک کلاس هم‌ارزی. 
مثلا 3=کلاس هم‌ارزیِ {(4 , 1) , (5 , 2) , ... } , 7- = کلاس هم‌ارزیِ {(1, 8) , (2 , 9) , ... }. 
شکل روبرو تعریف را ساده‌تر نمایش می‌دهد . هر عدد صحیح معادل یک کلاس هم‌ارزی است که اعضای هر کلاس هم‌ارزی با یک رنگ نشان داده شده‌اند

. به عبارت ديگر آيا بزرگترين عدد اول وجود دارد يا نه. جواب اين است كه بزرگترين عدد اول وجود ندارد. اين موضوع از عصر طلائي يونانيان مكشوف بوده و توسط اقليدس در سه قرن قبل از ميلاد به اثبات رسيده است. استدلال وي بي اندازه ساده و مبرهن است و هنوز هم تازگي خود را حفظ كرده. پس از اثبات نامتناهي بودن مجموعه ي اعداد اول سؤالاتي ديگر در مورد اين اعداد مطرح مي شود، كه به بعضي از آنها پاسخ داده شده ، ولي برخي هم همچنان بي جواب باقي مانده اند. در اين جا چند نمونه از اين سؤالات مورد بررسي قرار مي گيرند، و ضمناً برهان اقليدس نيز ارائه خواهد گرديد.

معلوم نيست كه مفهوم اول براي اولين بار در چه زماني طرح شده است و چه مدتي سپري گشته تا از مطالعه در خواص اوليه چنين اعدادي به نامتناهي بودن آن پي برده شود. شايد پس از نخستين ملاحظات تجربي و نيز مطالعه ي عملي در خواص اعدادي چون ۲و۳و۱۱و۱۷ اين سؤال طبعاً پيش آمده است.

برهان ذيل، براي اثبات نامتناهي بودن رشته ي اعداد اول هنوز هم از ساده ترين برهان ها در اين زمينه است. فرض كنيم كه چنين نباشد در اين صورت ، عدد اولي مانند p وجود دارد كه از هر عدد اول ديگر بزرگتر است. اينك را در نظر مي گيريم اين عدد بر هيچ يك از اعداد ( )بخشپذير نيست .

چون m يك عامل اول دارد و اين عامل در بين اعداد ( )نيست پس عامل اولي به غير از اعداد ياد شده دارد و اين با فرض ما در تناقض است. اين نتيجه ي ظريف و زيباي اقليدسي ، كه ضمناً

برهانش هم بسيار ساده است ، يكي از اولين نمونه ي برهانهاي مشهود رياضي است كه به طريقه ي برهان خلف صورت گرفته است. پس ازبررسي اين حكم سؤالات تازه اي مطرح مي شود، و پاسخ به اين سؤالات منجر به نتايج و ملاحظات ديگري مي گردد. به عنوان مثال ، با بكار بردن مفهوم « فاكتوريل» مي توان متقاعد شد كه همواره يك رشته ي بقدر كافي طولاني از اعداد طبيعي متوالي كه اول نباشد وجود دارد. در واقع به ازاي هر n مفروض مي توان n عدد متوالي ،

با در نظر گرفتن اعداد طبيعي : n!+2,n!+3,n!+4,…,n!+n به دست آورد؛ اين اعداد جملگي مركب اند (غير اول). زيرا اولي بر ۲ ودومي ۳ و سومي ۴ و n امي برn بخش پذير است. 
هر گاه موضوع را بيشتر تعقيب كنيم، به شگفتي اين اعداد و خصيصه ي مسائل مربوط به آن پي خواهيم برد، به تدريج مسائل جديد مطرح مي شوند و اين مسائل ، مسائل جديد ديگري را پيش مي آورند كه عموماً پاسخ به بعضي از آنها چندان هم ساده نيست.

از بين مسائل معروف اعداد اول ، مقدماتي ترين آنها مسئله ذيل است: در مورد اعداد طبيعي زوج به امتحان ملاحظه شده است كه قابل نمايش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. « كريستيان گلدباخ» رياضيدان آلماني حالت كلي را حدس زد. يعني به حدس اظهار داشت كه هر عدد طبيعي زوج بزرگتر از ۲ قابل نمايش به صورت حاصل جمع دو عدد اول است. ( اين موضوع در گلچين رياضي هم آمده) تا عصر حاضر اين حدس به يقين مبدل نشده است و رياضيدانان موفق به اقامه ي برهان براي آن نشده اند. صحت اين حكم براي اعداد طبيعي زوج كوچكتر از ۱۰۸ محقق شده است. ( تا سال ۱۹۶۸)

با بكار بردن ماشينهاي الكتريكي محاسبه ، مي توان آمارهايي فراهم آورد براي نشان دادن اينكه به چند طريق مي توان يك عدد زوج مانند ۲n به صورت حاصل جمع دو عدد اول نوشت ، عده ي طرق با بزرگ شدن n بزرگ مي شوند. در حال حاضر رياضيدانان روسي « ايوان ماتويويچ ويورگرادوف» ثابت كرده است كه هر عدد طبيعي فرد بقدر كافي بزرگ ، قابل نمايش به صورت حاصل جمع سه عدد اول است. فرمولي كه بوسيله آن بتوان هر عدد اول بقدر كافي بزرگ را به دست آورد، وجود ندارد. البته عبارت هايي در دست است كه از روي آن مي توان عده اي از اعداد اول را تعيين كرد.

به عنوان مثال فرمول اويلر در دست است كه از روي آن مي توان عده اي از اعداد اول را تعيين كرد. به عنوان مثال فرمول اويلر به ازاي اعداد اول متمايزي به دست مي دهد . همچنين معلوم نيست كه تعدادي نامتناهي از اعداد اول دوقلو ، يعني اعداد اولي كه تفاضل آنها ۲ باشد مانند ۵و۷ ، ۱۱و۱۳، ۲۹و۳۱ و غيره وجود دارد يا نه. اينها نمونه هايي هستند از مسائلي ساده در اعداد اول كه بطور طبيعي مطرح مي شوند و اگر چه صورت ظاهري آنها ساده به نظر مي رسد، اثبات آنها غالباً دشوار است و اين امكان وجود دارد كه با معلومات رياضي عصر ما ثابت نگردند.

اما در مورد حكمي كه اخيراً ذكر شد، اطلاعاتي در دست است. به عنوان مثال، معلوم گشته كه رشته ي اعداد اول به صورت ۴k+1 و۴k+3 نامتناهي است. به طور كلي ثابت شده كه در تصاعد حسابي ak+b،كه در اين a وb نسبت به هم اولند و k=1,2,3,… يك تعداد نامتناهي عدد اول وجود دارد.

قضایای اعداد اول
اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.
عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.
اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

سری اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ …
قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است.
• قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است. 
به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:
فرض خلف : اعداد اول متناهی است.
اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.
P1,P2,P3,…,Pn
ضرب اعداد از Pi بزرگ‌تراست.

که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات می‌کنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصل‌ضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسوم‌علیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما” بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضيه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.
قضيه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پايه قضيه ۴)

قضيه ۶-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر يك عدد اول بعلاوه يك عدد اول ديگر نوشت.
خواص اعداد اول:
۱- هر عدد اول برابر است با ۶n+1 يا ۶n-1 كه n يك عدد صحيح است.
۲-مجذور هر عدد اول برابر است با ۲۴n+1.
3-تفاضل مجذورهاي دو عدد اول مضربي از ۲۴ است.
۴-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز ۲و۳ مضربي از ۶ بعلاوه يا منهاي يك است.
توان چهارم هر عدد اول بجز ۲و۳ مضربي از ۲۴۰ بعلاوه يك اس

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۰‬ميليون و ‪ ۴۰۲‬هزار و ‪ ۴۵۷‬منهاي يك است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است.
لازم به ذكر است كه تعداد ۳۰۰۰ عدد اول در سايت مگاسندر [url]www.megasender.org[/url] وجود دارد و افرادي كه مايل به دريافت بيشتر اين اعداد هستند مي توانند با سايت مذكور تماس گرفته و تعداد بيشتري از آنها را بر روي لوح فشرده دريافت نمايند و طراحان اين سايت خودشان اين اعداد را محاسبه نموده اند

روشي براي شكار اعداد اول 
کی از اولین و در عین حال درخشانترین کارهای بشر در نظریه اعداد، اثبات اقلیدس از نامتناهی بودن اعداد اول در کتاب اصول است که امروزه می توان آن را در کتاب های درسی دبیرستانی خواند. نمونه ای عالی از زیبایی و سادگی ریاضیات. یونانی ها اعداد اول را می شناختند و از نقش آن ها به عنوان بلوک های سازنده دیگر اعداد آگاه بودند. بعد از این دستاوردهای بزرگ طبیعی ترین سوالی که به ذهن بشر رسید این بود که چه نظمی بر دنباله اعداد اول حاکم است، چگونه می

توان اعداد اول را یافت و چطور می توان اعدادی را که اول نیستند به عوامل اول شان تجزیه کرد. شاید اولین پاسخ به این سوال غربال اراتستن بوده باشد. تا امروز تلاش های زیادی برای یافتن یک فرمول تولید کننده اعداد اول و یا الگویی برای ظهور اعداد اول در میان دیگر اعداد انجام شده است که هر چند کمک های زیادی به گسترش نظریه اعداد کرده اند اما ساختار پیچیده اعداد اول همچنان در مقابل این تلاش ها مقاومت می کند.

جستجو برای الگوهایی از نظم در اعداد اول
یک نمونه ساده: ۳۱-۳۳۱-۳۳۳۱-۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۱-۳۳۳۳۳۳۳۱ همه اولند اما ۳۳۳۳۳۳۳۳۱ حاصلضرب دو عدد اول ۱۷ و ۱۹۶۰۷۸۴۳ است.

اعداد اول مرسن: اگر p اول باشد اعدادی به شکل ۲p-۱ را عدد مرسن میگوییم. اگر این اعداد اول باشند به آن ها عدد اول مرسن می گوییم. به ازای p برابر ۲ و ۳ و ۵ و ۷ عدد مرسن اول است اما اگر p را ۱۱ بگیریم مرکب است. تا امروز ۳۹ عدد اول مرسن شناخته شده اند که آخرینشان به ازای p=۱۳۴۶۶۹۱۷ به دست می‌آید و ۴۰۵۳۹۴۶ رقم دارد. یعنی بین همه اعداد اول کوچکتر از ۱۳۴۶۶۹۱۷ تنها ۳۹ تا عدد اول مرسن تولید می کنند.

اعداد اول دوقلو: به اعداد اولی که پشت سر هم هستند اعداد اول دوقلو می گوییم مثلا ۳ و ۵ و یا ۱۱ و ۱۳. هیچ کس نمی داند که پراکندگی این اعداد در میان سایر اعداد چگونه است و آیا تعداشان متناهی است یا نه بزگترین جفت شناخته شده ۱-۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ و ۱+۲۱۶۹۶۹۰×۳۳۲۱۸۹۲۵ هستند.

برای پیدا کردن اطلاعاتی راجع به جستجوی اعداد اول می توانید به سایت پروژه GIMPS سر بزنید.

در نظر گذشتگان آزمایش اول بودن یک عدد و یافتن عوامل اول آن یک سوال بودند. کافی بودن عدد مورد نظر را به ترتیب به همه اعداد کوچکتر از آن تقسیم کنیم. اگر به هیچ کدام بخشپذیر نبود اول است و اگر بخشپذیر بود به این ترتیب عوامل اول آن معلوم می شوند. کم کم این فرایند ساده تر شد، مثلا حالا می دانیم که تقسیم کردن به همه اعداد کوچکتر از جذر عدد مورد نظر کافیست (

چرا؟ )، همچنین در صورتیکه اعداد اول کوچکتر از عدد مورد نظر شناخته شده باشند، تقسیم کردن به این اعداد کافیست. این روش ها برای اعداد نسبتا کوچک کار می کنند اما وقتی با عددی مثلا ۱۰۰ رقمی طرف باشیم اوضاع فرق می کند. حتی با سریع ترین کامپیوترها هم تقسیم کردن یک عدد ۱۰۰ رقمی به همه اعداد کوچکتر از آن خیلی بیشتر از عمر عالم طول می کشد.

یک محاسبه سرانگشتی
فرض کنید بخواهیم یک عدد ۱۰۰ رقمی را به همه اعداد کوچکتر از خودش تقسیم کنیم. برای این کار باید حدود ۱۰۹۹ تقسیم انجام دهیم اگر کامپیوتر ما بتواند در هر ثانیه ۱۰۰۰ میلیارد یعنی ۱۰۱۲ تقسیم انجام دهد برای انجام کل کار ۱۰۸۷ ثانیه وقت لازم است.
یک سال ۲۴×۳۶۰۰×۳۶۵=۳۱۵۳۶۰۰۰ ثانیه است یعنی حدود ۱۰۸ ثانیه و این یعنی کار ما ۱۰۷۹ سال طول خواهد کشید. عمر عالم دست بالا ۱۵ میلیارد سال تخمین زده می شود. حتی یک دهم یا یک صدم یا یک هزارم این محاسبه هم غیر قابل انجام است.

حوالی قرن هفدهم توجه ریاضیدانان به این نکته جلب شد که شاید راه های ساده تری برای آزمایش اول بودن یا نبودن یک عدد وجود داشته باشد چرا که روش تقسیم مقدار زیادی اطلاعات اضافی ( لیست عوامل اول، وقتی که جواب سوال منفی است ) تولید می کند که برای پاسخ گفتن به این سوال نیازی به آن ها نیست. فرما مدتی بعد نشان داد که این حدس صحیح بوده است. فرما (۱۶۰۱-۱۶۶۵) قضیه ای را ثابت کرد که تا امروز اساس همه روش های آزمایش اول بودن اعداد است و ما آن را با نام قضیه کوچک فرما می شناسیم.

قضیه کوچک فرما: اگر p عددی اول و b عدد دلخواهی باشد که p و b نسبت به هم اول باشند، آن گاه باقیمانده تقسیم بر p و باقیمانده تقسیم b بر p همیشه برابرند.
بنابراین برای اینکه بدانیم عددی مثل a اول است یا نه کافیست عدد دلخواهی مثل b که نسبت به a اول باشد انتخاب کنیم و باقیمانده تقسیم بر a را بیابیم اگر این باقیمانده برابر b نباشد عدد ما اول نیست.

تنها مشکلی که وجود دارد این است که از آنجا که عکس قضیه فرما لزوما درست نیست – یعنی ممکن است بعضی از اعداد مرکب هم این خاصیت را داشته باشند – اگر باقیمانده b باشد نمی توان در مورد اول بودن یا نبودن a اظهارنظری کرد. این مشکل هم ۳۰۰ سال بعد در تابستان ۲۰۰۲ بوسیله سه ریاضیدان هندی به نام‌های Agrawal، Kayal و Saxena حل شد و حالا می توانیم در کسری از ثانیه در مورد اول بودن عددی با ۱۰۰ رقم اظهارنظر کنیم

1650 سال قبل از میلاد
پاپیروس ریند یکی از مهمترین یافته های باستان شناسی مرتبط با ریاضیات است که اطلاعات بسیار ارزشمندی را از ریاضیات مصر باستان در اختیار ما گذاشته است. این قطعه پاپیروس طومار مانند که تقریبا 30 سانتی متر عرض و 5/5 متر طول دارد در مقبره ای در شهر باستانی تبس در ساحل شرقی رود نیل کشف شده و قدمت آن که حاوی مطالبی به خط تصویری (هیروگلیف) روی آن نوشته شده به 1650 سال پیش از میلاد باز می گردد.
روی این پاپیروس می توان نخستین نماد های مورد استفاده توسط بشر برای نمایش عملیات ریاضی را مشاهده کرد. به عنوان مثال در آن زمان علامت جمع را به شکل یک جفت پا نشان می دادند که جهت حرکت آنها به سوی عددی بود که باید با عدد قبلی جمع بسته می شد.
در سال 1858/1237 یک حقوقدان و مصر شناس اسکاتلندی به نام الکساندر هنری ریند (Alexander Henry Rind) در یکی از سفر هایی که به مصر داشت این قطعه پاپیروس را در بازار شهر قدیمی لوکسور در جنوب مصر خریداری کرد.سرانجام چند سال بعد یعنی در سال 1864/1243 موزه ی انگلستان این پاپیروس را از ریند خرید و اکنون نیز از آن در همین موزه نگهداری می شود.
مطالب این پاپیروس شامل مسائلی در حساب ، جبر ، هندسه و نیز مطالبی در کاربرد ریاضیات در نقشه برداری ، ساختمان سازی و حسابداری است.یکی از مسائل جالب مطرح شده در این پاپیروس ، مساله شماره هفتاد و نهم آن است.صورت این مسئله چنین است :
"هفت نفر هر کدام هفت گربه دارند.هر گربه می تواند هفت موش بگیرد . هر موش می تواند هفت موش را بجود و هر خوشه گندم ، هفت دانه گندم می دهد.مجموع همه ای آدم ها ، گربه ها ، موش ها ، خوشه ها و دانه های گندم چقدر است ؟ " به بیان امروزی می توان گفت که این مساله در واقع مسئله تعیین مجموع جملات یک تصاعد هندسی با قدر نسبت 7 است. جالب اینجاست که مسئله های متعدد مشابه دیگری که همگی حاوی عدد 7 و حیوانات مختلف هستند طی هزاران سال بعد نیز همچنان در طول تاریخ ریاضیات به چشم می خورند.

Powered By
  BLOGFA.COM